Единый подход к описанию колебаний и волн различной физической природы

руб.0

Артикул: 10308 Категория:

Описание

Содержание:

Введение ………………………………………………………………………………..3
1 Единый подход к описанию колебаний и волн различной физической
природы …………………………………………………………………………………4
2 Роль волнового уравнения в теории волн …………………………………………………….5
3 Использование оптических солитонов ……………………………………………………………8
4 Основные научные интересы Рэлея – теория колебаний …………………………………9
Заключение …………………………………………………………………………….11
Список используемой литературы …………………………………………………..12

Введение

Человеку даже без специального физического или технического образования несомненно знакомы слова «электрон, протон, нейтрон, фотон». А вот созвучное с ними слово «солитон» многие, вероятно, слышат впервые. Это и неудивительно: хотя то, что обозначается этим словом, известно более полутора столетий, надлежащее внимание солитонам стали уделять лишь с последней трети ХХ века.
Солитонные явления оказались универсальными и обнаружились в математике, гидромеханике, акустике, радиофизике, астрофизике, биологии, океанографии, оптической технике. Что же это такое – солитон?
Во всех вышеперечисленных областях есть одна общая черта: в них или в отдельных их разделах изучаются волновые процессы, а проще говоря – волны. В наиболее общем смысле волна – это распространение возмущения какой-либо физической величины, характеризующей вещество или поле. Это распространение обычно происходит в какой-то среде – воде, воздухе, твердых телах. И только электромагнитные волны могут распространяться в вакууме. Все, несомненно, видели, как от брошенного в воду камня, «возмутившего» спокойную поверхность воды, расходятся сферические волны. Это пример распространения «одиночного» возмущения. Очень часто возмущение представляет собой колебательный процесс (в частности, периодический) в самых различных формах – качание маятника, колебания струны музыкального инструмента, сжатие и расширение кварцевой пластинки под действием переменного тока, колебания в атомах и молекулах.

1 Единый подход к описанию колебаний и волн различной физической природы

Волны – распространяющиеся колебания – могут иметь различную природу: волны на воде, звуковые, электромагнитные (в том числе световые) волны. Различие физических механизмов, реализующих волновой процесс, влечет за собой различные способы его математического описания. Но волнам разного происхождения присущи и некоторые общие свойства, для описания которых используют универсальный математический аппарат. А это означает, что можно изучать волновые явления, отвлекаясь от их физической природы.
В теории волн так обычно и делают, рассматривая такие свойства волн, как интерференция, дифракция, дисперсия, рассеяние, отражение и преломление. Но при этом имеет место одно важное обстоятельство: такой единый подход правомерен при условии, что изучаемые волновые процессы различной природы линейны. Линейными могут быть только волны с не слишком большой амплитудой. Если же амплитуда волны велика, она становится нелинейной.
Солитоны – тоже что-то из области волн. Это солитоном называют весьма необычное образование – «уединенную» волну (solitary wave). Механизм ее возникновения долгое время оставался загадкой для исследователей; казалось, что природа этого явления противоречит хорошо известным законам образования и распространения волн. Ясность появилась сравнительно недавно, и сейчас изучают солитоны в кристаллах, магнитных материалах, волоконных световодах, в атмосфере Земли и других планет, в галактиках и даже в живых организмах. Оказалось, что и цунами, и нервные импульсы, и дислокации в кристаллах (нарушения периодичности их решеток) – все это солитоны! Солитон поистине «многолик».
Чтобы понять основные идеи, связанные с солитонами, и при этом обойтись практически без математики, придется поговорить в первую очередь об упоминавшейся уже нелинейности и о дисперсии – явлениях, лежащих в основе механизма образования солитонов. Солитон впервые явился человеку в «обличии» уединенной волны на воде.
Это случилось в 1834 году. Джон Скотт Рассел, шотландский физик и талантливый инженер-изобретатель, получил предложение исследовать возможности навигации паровых судов по каналу, соединяющему Эдинбург и Глазго. В то время перевозки по каналу осуществлялись с помощью небольших барж, которые тащили лошади. Чтобы выяснить, как нужно переоборудовать баржи при замене конной тяги на паровую, Рассел начал вести наблюдения за баржами различной формы, движущимися с разными скоростями. И в ходе этих опытов он неожиданно столкнулся с совершенно необычным явлением.
Вот как он описал его в своем «Докладе о волнах»:
«Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась. Но масса воды, которую баржа привела в движение, собралась около носа судна в состоянии бешеного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной скоростью и принимая форму большого одиночного возвышения – округлого, гладкого и четко выраженного водяного холма. Он продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости. Я последовал за ним верхом, и когда нагнал его, он по-прежнему катился вперед со скоростью примерно 8-9 миль в час, сохранив свой первоначальный профиль возвышения длиной около тридцати футов и высотой от фута до полутора футов. Его высота постепенно уменьшалась, и после одной или двух миль погони я потерял его в изгибах канала».
Рассел назвал обнаруженное им явление «уединенной волной трансляции». Однако его сообщение встретили скепсисом признанные авторитеты в области гидродинамики – Джордж Эйри и Джордж Стокс, полагавшие, что волны при движении на большие расстояния не могут сохранять свою форму. Для этого у них были все основания: они исходили из общепринятых в то время уравнений гидродинамики. Признание «уединенной» волны произошло еще при жизни Рассела трудами нескольких математиков, которые показали, что существовать она может, и, кроме того, были повторены и подтверждены опыты Рассела. Но споры вокруг солитона все же долго не прекращались – слишком велик был авторитет Эйри и Стокса.
Окончательную ясность в проблему внесли голландский ученый Дидерик Иоханнес Кортевег и его ученик Густав де Фриз. В 1895 году, через тринадцать лет после смерти Рассела, они нашли точное уравнение, волновые решения которого полностью описывают происходящие процессы. В первом приближении это можно пояснить следующим образом. Волны Кортевега – де Фриза имеют несинусоидальную форму и становятся синусоидальными только в том случае, когда их амплитуда очень мала. При увеличении длины волны они приобретают вид далеко разнесенных друг от друга горбов, а при очень большой длине волны остается один горбик, который и соответствует «уединенной» волне.
Уравнение Кортевега – де Фриза (так называемое КдФ-уравнение) сыграло очень большую роль в наши дни, когда физики поняли его универсальность и возможность приложения к волнам различной природы.

2 Роль волнового уравнения в теории волн

В теории волн фундаментальное значение имеет волновое уравнение. Не приводя его здесь (для этого требуется знакомство с высшей математикой), отметим лишь, что искомая функция, описывающая волну, и связанные с ней величины содержатся в первой степени. Такие уравнения называются линейными. Волновое уравнение, как и любое другое, имеет решение, то есть математическое выражение, при подстановке которого обращается в тождество. Решением волнового уравнения служит линейная гармоническая (синусоидальная) волна. Термин «линейная» употребляется здесь не в геометрическом смысле (синусоида – не прямая линия), а в смысле использования первой степени величин в волновом уравнении.
Линейные волны подчиняются принципу суперпозиции (сложения). Это означает, что при наложении нескольких линейных волн форма результирующей волны определяется простым сложением исходных волн. Это происходит потому, что каждая волна распространяется в среде независимо от других, между ними нет ни обмена энергией, ни иного взаимодействия, они свободно проходят одна через другую. Иными словами, принцип суперпозиции означает независимость волн, и именно поэтому их можно складывать. При обычных условиях это справедливо для звуковых, световых и радиоволн, а также для волн, которые рассматриваются в квантовой теории. Но для волн в жидкости это не всегда верно: складывать можно лишь волны очень малой амплитуды. Если попытаться сложить волны Кортевега – де Фриза, то мы вообще не получим волну, которая может существовать: уравнения гидродинамики нелинейны.
Свойство линейности акустических и электромагнитных волн соблюдается, как было уже отмечено, при обычных условиях, под которыми подразумеваются, прежде всего, небольшие амплитуды волн. Но что значит – «небольшие амплитуды»? Амплитуда звуковых волн определяет громкость звука, световых – интенсивность света, а радиоволн – напряженность электромагнитного поля. Радиовещание, телевидение, телефонная связь, компьютеры, осветительные приборы и многие другие устройства работают в тех самых «обычных условиях», имея дело с разнообразными волнами малой амплитуды. Если же амплитуда резко увеличивается, волны теряют линейность и тогда возникают новые явления. В акустике давно известны ударные волны, распространяющиеся со сверхзвуковой скоростью. Примеры ударных волн – раскаты грома во время грозы, звуки выстрела и взрыва и даже хлопанье кнута: его кончик движется быстрее звука. Нелинейные световые волны получают с помощью мощных импульсных лазеров. Прохождение таких волн через различные среды меняет свойства самих сред; наблюдаются совершенно новые явления, составляющие предмет изучения нелинейной оптики. Например, возникает световая волна, длина которой в два раза меньше, а частота, соответственно, вдвое больше, чем у входящего света (происходит генерация второй гармоники). Если направить на нелинейный кристалл, скажем, мощный лазерный пучок с длиной волны l1 = 1,06 мкм (инфракрасное излучение, невидимое глазом), то на выходе кристалла возникает кроме инфракрасного зеленый свет с длиной волны l2 =0,53 мкм.
Если нелинейные звуковые и световые волны образуются только в особых условиях, то гидродинамика нелинейна по самой своей природе. А поскольку гидродинамика проявляет нелинейность уже в самых простых явлениях, почти столетие она развивалась в полной изоляции от «линейной» физики. Никому просто не приходило в голову искать что-либо похожее на «уединенную» волну Рассела в других волновых явлениях. И только когда были разработаны новые области физики – нелинейные акустика, радиофизика и оптика, – исследователи вспомнили о солитоне Рассела и задались вопросом: только ли в воде может наблюдаться подобное явление? Для этого надо было понять общий механизм образования солитона. Условие нелинейности оказалось необходимым, но недостаточным: от среды требовалось еще что-то, чтобы в ней смогла родиться «уединенная» волна. И в результате исследований стало ясно – недостающим условием оказалось наличие дисперсии среды.
Дисперсией называется зависимость скорости распространения фазы волны (так называемой фазовой скорости) от частоты или, что то же самое, длины волны. Несинусоидальную волну любой формы по известной теореме Фурье можно представить совокупностью простых синусоидальных составляющих с различными частотами (длинами волн), амплитудами и начальными фазами. Эти составляющие из-за дисперсии распространяются с различными фазовыми скоростями, что приводит к «размыванию» формы волны при ее распространении. Но солитон, который тоже можно представить как сумму указанных составляющих при движении свою форму сохраняет. Солитон – волна нелинейная. И вот тут-то и лежит ключ к раскрытию его «тайны». Оказывается, что солитон возникает тогда, когда эффект нелинейности, делающий «горб» солитона более крутым и стремящийся его опрокинуть, уравновешивается дисперсией, делающей его более пологим и стремящейся его размыть. То есть солитон возникает «на стыке» нелинейности и дисперсии, компенсирующих друг друга.
Предположим, что на поверхности воды образовался горбик, который начал перемещаться. Посмотрим, что будет, если не учитывать дисперсию. Скорость нелинейной волны зависит от амплитуды (у линейных волн такой зависимости нет). Быстрее всех будет двигаться вершина горбика, и в некоторый следующий момент его передний фронт станет круче. Крутизна фронта увеличивается, и с течением времени произойдет «опрокидывание» волны. Подобное опрокидывание волн видим, наблюдая прибой на морском берегу.
К чему же приводит наличие дисперсии. Первоначальный горбик можно представить суммой синусоидальных составляющих с различными длинами волн. Длинноволновые составляющие бегут с большей скоростью, чем коротковолновые, и, следовательно, уменьшают крутизну переднего фронта, в значительной степени выравнивая его. При определенной форме и скорости горбика может наступить полное восстановление первоначальной формы, и тогда образуется солитон.
Одно из удивительных свойств «уединенных» волн состоит в том, что они во многом подобны частицам. Так, при столкновении два солитона не проходят друг через друга, как обычные линейные волны, а как бы отталкиваются друг от друга подобно теннисным мячам.
На воде могут возникать солитоны и другого типа, названные групповыми, так как их форма весьма сходна с группами волн, которые в реальности наблюдаются вместо бесконечной синусоидальной волны и перемещаются с групповой скоростью. Групповой солитон весьма напоминает амплитудно-модулированные электромагнитные волны; его огибающая несинусоидальна, она описывается более сложной функцией – гиперболическим секансом. Скорость такого солитона не зависит от амплитуды, и этим он отличается от КдФ-солитонов. Под огибающей обычно находится не более 14-20 волн. Средняя – самая высокая – волна в группе оказывается, таким образом, в интервале от седьмой до десятой; отсюда известное выражение «девятый вал».
Оптический солитон – типичный групповой солитон. Его образование можно уяснить на примере одного из нелинейно-оптических эффектов – так называемой самоиндуцированной прозрачности. Этот эффект заключается в том, что среда, поглощающая свет небольшой интенсивности, то есть непрозрачная, внезапно становится прозрачной при прохождении сквозь нее мощного светового импульса. Чтобы понять, почему это происходит, вспомним, чем обусловлено поглощение света в веществе.
Световой квант, взаимодействуя с атомом, отдает ему энергию и переводит на более высокий энергетический уровень, то есть в возбужденное состояние. Фотон при этом исчезает – среда поглощает свет. После того как все атомы среды возбуждаются, поглощение световой энергии прекращается – среда становится прозрачной. Но такое состояние не может длиться долго: фотоны, летящие следом, заставляют атомы возвращаться в исходное состояние, испуская кванты той же частоты. Именно это и происходит, когда через такую среду направляется короткий световой импульс большой мощности соответствующей частоты. Передний фронт импульса перебрасывает атомы на верхний уровень, частично при этом поглощаясь и становясь слабее. Максимум импульса поглощается уже меньше, а задний фронт импульса стимулирует обратный переход с возбужденного уровня на основной. Атом излучает фотон, его энергия возвращается импульсу, который и проходит через среду. При этом форма импульса оказывается соответствующей групповому солитону.
Совсем недавно в одном из американских научных журналов появилась публикация о ведущихся известной фирмой «Белл» разработках передачи сигналов на сверхбольшие расстояния по оптическим волоконным световодам с использованием оптических солитонов. При обычной передаче по оптико-волоконным линиям связи сигнал должен подвергаться усилению через каждые 80-100 километров (усилителем может служить сам световод при его накачке светом определенной длины волны). А через каждые 500-600 километров приходится устанавливать ретранслятор, преобразующий оптический сигнал в электрический с сохранением всех его параметров, а затем вновь в оптический для дальнейшей передачи. Без этих мер сигнал на расстоянии, превышающем 500 километров, искажается до неузнаваемости. Стоимость этого оборудования очень высока: передача одного терабита (1012 бит) информации из Сан-Франциско в Нью-Йорк обходится в 200 миллионов долларов на каждую ретрансляционную станцию.

3 Использование оптических солитонов

Использование оптических солитонов, сохраняющих свою форму при распространении, позволяет осуществить полностью оптическую передачу сигнала на расстояния до 5-6 тысяч километров. Однако на пути создания «солитонной линии» имеются существенные трудности, которые удалось преодолеть только в самое последнее время.
Возможность существования солитонов в оптическом волокне предсказал в 1972 году физик-теоретик Акира Хасегава, сотрудник фирмы «Белл». Но в то время еще не было световодов с низкими потерями в тех областях длин волн, где можно наблюдать солитоны.
Оптические солитоны могут распространяться только в световоде с небольшим, но конечным значением дисперсии. Однако оптического волокна, сохраняющего требуемое значение дисперсии во всей спектральной ширине многоканального передатчика, просто не существует. А это делает «обычные» солитоны непригодными для использования в сетях с длинными линиями передачи.
Подходящая солитонная технология создавалась в течение ряда лет под руководством Линна Молленауэра, ведущего специалиста Отдела оптических технологий все той же фирмы «Белл». В основу этой технологии легла разработка оптических волокон с управляемой дисперсией, позволившая создать солитоны, форма импульсов которых может поддерживаться неограниченно долго.
Метод управления состоит в следующем. Величина дисперсии по длине волоконного световода периодически изменяется между отрицательным и положительным значениями. В первой секции световода импульс расширяется и сдвигается в одном направлении. Во второй секции, имеющей дисперсию противоположного знака, происходят сжатие импульса и сдвиг в обратном направлении, в результате чего его форма восстанавливается. При дальнейшем движении импульс опять расширяется, затем входит в следующую зону, компенсирующую действие предыдущей зоны, и так далее – происходит циклический процесс расширений и сжатий. Импульс испытывает пульсацию по ширине с периодом, равным расстоянию между оптическими усилителями обычного световода – от 80 до 100 километров. В результате, по заявлению Молленауэра, сигнал при объеме информации более 1 терабита может пройти без ретрансляции по меньшей мере 5 – 6 тысяч километров со скоростью передачи 10 гигабит в секунду на канал без каких-либо искажений. Подобная технология сверхдальней связи по оптическим линиям уже близка к стадии реализации.
4 Основные научные интересы Рэлея – теория колебаний
Основными научными интересами Рэлея были теория колебаний и ее приложения в самых разных областях физики – акустике, оптике, электричестве и других. В акустике Рэлей исследовал колебания струн, стержней, пластинок и др. В 1873 он сформулировал ряд фундаментальных теорем линейной теории колебаний, позволяющих делать качественные заключения о собственных частотах колебательных систем, и разработал количественный метод возмущений для нахождения собственных частот колебательной системы, мало отличающейся от простой системы с известными собственными частотами. Рэлей впервые указал на специфичность нелинейных систем, способных совершать незатухающие колебания без периодического воздействия извне, и на особый характер этих колебаний (называемых впоследствии автоколебаниями). Он объяснил различие групповой и фазовой скоростей и получил формулу для групповой скорости (формула Рэлея).
Он рассмотрел также задачу сложения многих колебаний со случайными фазами и получил функцию распределения для результирующей амплитуды – так называемое распределение Рэлея. Метод, разработанный при этом Рэлеем, надолго определил дальнейшее развитие теории случайных процессов. В теории упругих волн Рэлей рассмотрел вопросы дифракции, рассеяния и поглощения волн, давление звука, исследовал волны конечной амплитуды и особый вид поверхностных волн (волны Рэлея). Работы Рэлея по теории колебаний систематизированы им в фундаментальном труде «Теория звука», в котором впервые отчётливо проявился единый подход к изучению колебательных и волновых процессов, имеющих различную природу. Эти идеи Рэлея легли в основу современной теории колебаний.
В 1883 году Рэлей опубликовал в журнале Nature статью посвященную динамическому планированию морских птиц, использующих для своего полета разность в скорости ветра на разных высотах.
В 1900 Рэлей вывел один из законов излучения абсолютно чёрного тела (см. закон Рэлея. Эта работа имела большое значение для возникновения теории квантов. Также примерно в это время Рэлей построил теорию локализации человеком направления на источник звука с использованием разности времени прихода звука в правое и левое ухо.
Рэлей заложил основы теории молекулярного рассеяния света. Установив обратную пропорциональность интенсивности рассеянного света 4-й степени длины волны (закон Рэлея), он объяснил голубой цвет неба. В 1879 Рэлей создал теорию разрешающей способности оптических приборов. В 1894 совместно с Уильямом Рамзаем открыл аргон. С именем Рэлея связаны многие физические понятия, законы и приборы.

Заключение

Волны – распространяющиеся колебания – могут иметь различную природу: волны на воде, звуковые, электромагнитные волны.
Различие физических механизмов, реализующих волновой процесс, влечет за собой различные способы его математического описания. Но волнам разного происхождения присущи и некоторые общие свойства, для описания которых используют универсальный математический аппарат. А это означает, что можно изучать волновые явления, отвлекаясь от их физической природы.
На основании изложенного материала мы можем сделать вывод, что в физике существует единый подход к описанию колебаний и волн различной физической природы.
Работы Рэлея по теории колебаний систематизированы им в фундаментальном труде «Теория звука», в котором впервые отчётливо проявился единый подход к изучению колебательных и волновых процессов, имеющих различную природу. Эти идеи Рэлея легли в основу современной теории колебаний.

Список используемой литературы

1 Стрелков, С.П. Введение в теорию колебаний/ С.П.Стрелков. – СПб:
«Лань», 2005. – 437 с.
2 Иродов, И.Е. Волновые процессы. Основные законы/ И.Е.Иродов. –
Москва, 2001. – 253 с.
3 Сивухин Д.В. Общий курс физики. М., Наука, 1979–1989, т. 1–5.
4 Матвеев А.Н. Курс общей физики, М., Высшая школа, 1976–1989, т. 1-5.
Дополнительная
5 Бейзер А. Основные представления современной физики. М., Атомиздат, 1973.
6 Иродов И. Основные законы механики. М., Высшая школа, 1985.

Предварительный просмотр

Единый подход к описанию колебаний и волн различной физической природы